Atividade 3 – EPROD – Geometria Analítica e Álgebra Linear – 53/2025

ATIVIDADE 3 – EPROD – GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR – 53/2025

QUESTÃO 1

Ao se analisar uma transformação linear é possível traduzi-la na forma de uma matriz. Isso é possível pois as matrizes, como elementos de um espaço vetorial, conservam todas as propriedades necessárias a uma transformação linear. A utilização de matrizes não aparece por acaso e está vinculada aos conceitos de autovalores e autovetores de uma função.

Com base no exposta acime, avalie as afirmações:

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1 – Apenas I e II.
Alternativa 2 – Apenas III e IV.
Alternativa 3 – Apenas I, II e III.
Alternativa 4 – Apenas II, III e IV.
Alternativa 5 – I, II, III e IV.

QUESTÃO 2

A avaliação de posições relativas (entre pontos e retas, retas e planos e afins) é uma possibilidade de estudar distâncias de forma mais abrangente, podendo ser aplicadas de inúmeras formas na engenharia como na medida de distâncias entre estruturas. Também muito útil nesses casos é verificar as condições (paralelos perpendiculares) entre si. Deseja-se acoplar duas chapas metálicas e para isso deve-se avaliar se estas estão completamente paralelas entre si. Sabendo as equações dos planos nos quais as placas estão contidas são:

Texto elaborado pelo Professor, 2018.​

Sobre os dois planos, avalie as afirmações a seguir:

I. Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 1 unidade de medida.

II. Os planos serão perpendiculares.

III. Os planos são paralelos e a distância entre os dois planos é maior que 2 unidades de medida.

IV. Os planos são não coincidentes.

É correto apenas o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1 – I, apenas.
Alternativa 2 – III, apenas.
Alternativa 3 – IV, apenas.
Alternativa 4 – I e IV, apenas.
Alternativa 5 – II e IV, apenas.

QUESTÃO 3

Deseja-se saber informações sobre um conjunto de itens em um estoque. Para isso, para dois itens colineares foram definidas as seguintes posições:

ITEM A: (2,1,4);

ITEM B: (5,1,6);

Texto elaborado pelo Professor, 2018.​

Sobre outros itens do mesmo estoque, avalie as afirmações a seguir:

I. P (8, 1, 8) corresponde a um item colinear a A e B.

II. P (11,3,10) corresponde a um item colinear a A e B.

III. P (3,3,3) está mais próximo do item A do que do item B.

IV. P (3,5, 1, 5) está exatamente no meio do caminho entre os dois.

Esta correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1 – III, apenas.
Alternativa 2 – I e II, apenas.
Alternativa 3 – II e IV, apenas.
Alternativa 4 – I, III e IV, apenas.
Alternativa 5 – I, II, III e IV.

QUESTÃO 4

A combinação linear, importante procedimento em espaços e subespaços vetoriais, é capaz de criar inúmeros vetores do espaço em questão, se os vetores primordialmente escolhidos forem LI.

Considerando os vetores indicados por:

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1 – I, II e IV, apenas
Alternativa 2 – I, III e IV, apenas.
Alternativa 3 – I, II e III, apenas.
Alternativa 4 – II, III e IV, apenas.
Alternativa 5 – I, II, III e IV.

QUESTÃO 5

As duas equações abaixo resumem os conceitos de autovetores e de autovalores. O primeiro conceito está relacionado aos vetores “v” que resolvem a primeira equação descrita. Os autovalores são aqueles escalares para os quais a segunda equação é verdadeira. Estes dois conceitos auxiliam nos cálculos de equações matriciais não convencionais (como envolvendo potenciação de matrizes).

Avalie as afirmações a seguir:

Está correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1 – I e II, apenas.
Alternativa 2 – II e III, apenas.
Alternativa 3 – III e IV, apenas.
Alternativa 4 – II, III e IV, apenas.
Alternativa 5 – I, II, III e IV.

QUESTÃO 6

Apresentadas as equações abaixo, avalie o que é afirmado a seguir.

I. 4x² + 5y² = 20 é uma elipse.

II. x² = 1 – y é uma parábola.

III. y + 3 = x² é uma hipérbole.

IV. x² + 10y² = 10 é uma elipse.

É correto o que se afirma em:

Alternativas
Alternativa 1 – Apenas I e II.
Alternativa 2 – Apenas I, II e III.
Alternativa 3 – Apenas I, II e IV.
Alternativa 4 – Apenas I, III e IV.
Alternativa 5 – Apenas II, III e IV.

QUESTÃO 7

As Transformações (e consequentemente, as Transformações Lineares) estão entre as principais aplicações da Álgebra Linear. Lembrando: dados dois conjuntos, não vazios, U e V, uma aplicação (transformação) de U em V é uma “lei” que associa a cada elemento de U um único elemento de V. Se denotamos por F esta aplicação, então, o elemento associado é denotado por F(u), que está em V, denominado a imagem de u pela aplicação F.

Para a Transformação a seguir, responda ao que se pede:

T: R³ ~~ R³, T(x,y,z) = (x + 2y + z, 2x + y – z, x + y)