MAPA – Cálculo Diferencial e Integral I – 54/2025

MAPA – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I – 54/2025

O cálculo matemático é uma ferramenta essencial para engenheiros em todas as áreas, pois permite modelar, analisar e prever o comportamento de sistemas reais que enfrentam no dia a dia. No entanto, mais do que apenas realizar operações, é fundamental interpretar os resultados obtidos para tomar decisões eficazes e garantir a segurança, eficiência e sustentabilidade dos projetos.

Nesse contexto, você, como engenheiro responsável pelo controle térmico de um equipamento industrial, deve aplicar os conceitos aprendidos em Cálculo para analisar o comportamento da temperatura durante o processo. Entender o que esses resultados significam na prática é tão importante quanto o cálculo em si, pois eles orientam ações que podem impactar diretamente no consumo de energia, na qualidade do produto e na vida útil do equipamento.

Em um processo industrial automatizado, o controle preciso da temperatura de equipamentos é fundamental para garantir a qualidade do produto final e a segurança operacional. Durante o funcionamento de um equipamento específico, a temperatura inicial é ambiente, mas, após o início do processo, ela começa a subir devido à reação química controlada que ocorre internamente. A temperatura T(t), medida em graus Celsius, varia ao longo do tempo t (em minutos) segundo a função:

Esse modelo indica que a temperatura aumenta rapidamente nos primeiros minutos, aproximando-se de um limite estável conforme o tempo avança. Compreender o comportamento dessa função é essencial para otimizar o consumo de energia e evitar danos por superaquecimento.

De acordo com as informações descritas no enunciado, responda às questões a seguir:

a) Determine a temperatura do equipamento quando t = 0 e interprete o resultado no contexto do processo.

b) Calcule o limite da temperatura T(t) quando e explique o significado físico desse valor para a operação do equipamento.

c) Calcule a taxa de variação da temperatura T′(t) nos instantes t = 0, t = 10 e t = 40 minutos. Considerando que a temperatura pode ser considerada estabilizada quando a taxa de variação for menor que 0,05 ºC/min, estime o tempo aproximado necessário para que o equipamento atinja essa condição de estabilização térmica. Justifique seu raciocínio.

d) Calcule a temperatura T(t) no tempo estimado para estabilização encontrado na letra c. Compare esse valor com o resultado obtido na letra b e explique o significado dessa comparação para a operação do equipamento.

e) Considerando que o consumo total de energia do equipamento (em J) é calculado pela área abaixo da curva do gráfico a seguir, determine o consumo total de energia até 20 minutos.

Cálculo Diferencial e Integral I