MAPA – Cálculo Diferencial e Integral II – 52/2026

MAPA – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II – 52/2026

CONTEXTUALIZAÇÃO

Uma indústria está projetando um tanque de armazenamento temporário de efluente líquido antes do envio para o sistema de tratamento. O tanque possui base circular e um fundo com formato parabólico, projetado para facilitar o escoamento de sólidos.

Durante o dimensionamento do sistema, a equipe de engenharia precisa avaliar:

– O volume máximo de armazenamento do tanque.

– A massa total de efluente armazenada, considerando variação de densidade com a profundidade.

Para realizar essas análises, serão utilizadas ferramentas matemáticas estudadas em Cálculo Diferencial e Integral II, incluindo integrais múltiplas.

Fonte: a autora, 2026.

ETAPA 1. Volume do tanque

O tanque está centrado na origem do sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z), sendo o eixo z orientado verticalmente.

O fundo do tanque possui formato de paraboloide e é descrito pela equação:

A base circular do tanque, vista no plano horizontal xy, possui raio interno de 2 m. Assim, os pontos da base satisfazem a condição:

Na borda do tanque, onde x² + y² = 4, a equação do fundo fornece:

Esse valor corresponde ao nível máximo de operação do tanque.

Para maior entendimento, observe a Figura 1.

Figura 1 – Representação do tanque de armazenamento de efluentes.

Fonte: gerada por Gemini em 1 abr. 2026.

​Tarefas

a) Escreva a integral dupla em coordenadas polares que representa o volume máximo do tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Calcule o volume máximo do tanque.

ETAPA 2. Massa total do efluente

Durante a operação do tanque, a densidade do efluente não é constante devido à presença de sólidos suspensos. A densidade varia com a altura no interior do tanque segundo a expressão:

onde:

– é a densidade em kg/m³

– z é a cota vertical em metros.

Tarefas

a) Escreva a integral tripla em coordenadas cilíndricas que representa a massa total de efluente armazenado no tanque. Neste momento, não é necessário resolver.

b) Resolva a integral e determine a massa total aproximada, em kg, de efluente armazenada no tanque.

Unicesumar – Cálculo Diferencial e Integral II