Portfólio de Autoestudo – Tanques de Armazenamento

PORTFÓLIO DE AUTOESTUDO – TANQUES DE ARMAZENAMENTO

Os tanques de armazenamento a granel são usados para armazenar grandes quantidades de líquidos, como petróleo, água, produtos químicos e outros materiais líquidos. Eles são construídos com materiais resistentes e duráveis, como aço carbono, aço inoxidável ou concreto, para garantir a
segurança e a integridade dos líquidos armazenados.

Uma empresa fabrica tanques retangulares de armazenamento, de base quadrada, com capacidade de 1000 metros cúbicos, feitos com liga metálica, para atender múltiplos propósitos industriais.

O Engenheiro de produto da empresa precisa projetar os seguintes parâmetros da caixa retangular:

Parte I:
Determinar as dimensões ótimas da caixa, com vistas a minimizar o custo de material de fabricação, ou seja, minimizar o custo de material é um problema equivalente a minimizar a área superficial do reservatório retangular.

Parte II:
Projetar a quantidade de líquido remanescente, no reservatório, quando uma torneira, instalada na base no tanque de armazenamento, é aberta e a água flui para fora do tanque a uma taxa de pelo período de 10 minutos, considerando que o tanque inicialmente está completamente cheio.

Parte I:
A figura a seguir, ilustra as variáveis que designam as dimensões da caixa, ou seja, a variável x designa a largura da caixa, y designa o comprimento e z a altura.

Dados do Problema:
Volume:
Base quadrada: y=x

O Engenheiro precisa realizar o seguinte roteiro com vistas a projetar os parâmetros do reservatório retangular:

1) Explicitar a função área superficial em termos das áreas que compõem as partes da caixa retangular.

2) Parametrizar cada área parcial em termos das variáveis que designam as dimensões da caixa.

Por exemplo:

Isolar a variável z na equação de volume dada:

4) Use a informação de que a base é quadrada, ou seja, de que y=x e escreva z e y em termos de x .

5) Substitua estas variáveis expressadas em termos de x na Equação que descreve a área superficial:

Agora a área superficial A depende unicamente da variável x.

6) Encontre os pontos críticos de A=A(x). Ou seja, resolva:

7) Aplique o Teste da Derivada Segunda nos pontos críticos encontrados para determinar o ponto de mínimo local.

8) Após encontrar a dimensão substitua seu valor nas relações dos dados do problema:

Parte II:
Designemos pela variável V o volume de água no tanque t minutos após a torneira ser aberta.

Como a água está saindo do tanque, V estará diminuindo e, portanto, deve ser negativo.

O Engenheiro precisa realizar o seguinte roteiro com vistas a projetar a quantidade de líquido remanescente dentro do reservatório:

1) Defina a vazão de saída de líquido do tanque a luz da derivada:

2) Integre ambos os membros da equação acima com respeito à t, usando o operador de integral indefinida.

3) Você encontrará a função do volume remanescente no tanque V como uma função de t, ou seja, V = V(t), na qual na expressão encontrada existe uma constante C a ser determinada.

4) Use a informação de que inicialmente o volume de líquido dentro do tanque é de 1000 m3. Ou seja, imponha a condição inicial V(0)=1000 na expressão de V=V(t) para encontrar o valor da constante C.

5) Após encontrar a forma explícita de V(t), então avalie V(t) em t=10 minutos e obtenha o valor do volume remanescente de líquido dentro do reservatório.