Portfólio de Autoestudo – Túneo

PORTFÓLIO DE AUTOESTUDO – TÚNEO

Um engenheiro deve projetar um túnel que deve passar por uma colina.

A origem das coordenadas x e y foram fixadas à elevação zero, de forma
adjacente à base da colina, conforme descreve a figura abaixo.

Nesta imagem, temos uma visão longitudinal, elucidando o comprimento do túnel atravessando a colina.

Já na figura a seguir, temos uma visão em perspectiva 3D da colina e da abertura da entrada do túnel no interior da colina.

O Engenheiro precisa projetar os seguintes parâmetros do túnel:

● Largura do túnel.
● Altura máxima do túnel.
● Comprimento do túnel.

Sem perda de generalidade, podemos representar a seção transversal da colina e do túnel em outro sistema de coordenadas cartesiano, conforme ilustra a vista frontal da colina e da entrada do túnel na figura ao lado.

A entrada do túnel deve ter um perfil parabólico, cujo centro está 5 metros defasado à esquerda do centro da colina e é modelado segundo o perfil parabólico.

Caro(a) estudante, você deve justificar cada conta solicitada no passo a passo descrito a seguir para a resolução da Atividade.

Deve anexar toda a resolução da atividade em um único arquivo pdf.

Seguem as orientações para a execução da atividade:

1º) Determinar a largura do túnel.

Neste sentido, você deve encontrar as raízes da função do arco parabólico do túnel.

Ou seja, você precisa descobrir os pontos que corta o eixo Matematicamente, você deve resolver a equação:

Você encontrará o valor das duas raízes x1 e x2.

Finalmente, calcule a largura do túnel:

2º) Determinar a altura máxima do arco parabólico do túnel descrito pela função.

Neste máximo, a reta tangente é horizontal ao arco. Veja:

Neste sentido, você deve:

I) Calcular a derivada da função que descreve o arco parabólico do túnel.

II) Como a reta tangente horizontal tem inclinação zero, você deve resolver a equação:

3º) Uma vez determinada a altura máxima do túnel, você precisa determinar o comprimento do túnel, tendo em mente que a altura máxima do túnel determina pontos de intersecção com a colina, fornecendo as posições das bocas do túnel xA e xB conforme exibe o perfil longitudinal do túnel atravessando a colina na figura a seguir.

Ou seja, você precisa encontrar os pontos xA e xB para os quais f(x)= valor da altura máxima do túnel, isto é, resolva a equação = valor da altura máxima do túnel.

E após encontrar xA e xB que satisfazem a equação acima, então calcule o comprimento do túnel.