MAPA – MAT – Cálculo Diferencial e Integral III – 53/2025

MAPA – MAT – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III – 53/2025

No contexto da licenciatura em Matemática, o estudo das equações diferenciais é fundamental para desenvolver uma compreensão mais profunda dos conceitos matemáticos e para preparar os futuros professores para o ensino de Matemática em diferentes níveis. As equações diferenciais são ferramentas poderosas para modelar e resolver problemas em diversas áreas, desde a Física e a Engenharia até a Economia e Biologia. Nesse sentido, no contexto da licenciatura, destacam-se as seguintes aplicações:

i) Modelagem matemática: as equações diferenciais permitem representar e analisar fenômenos dinâmicos, o que é essencial para a compreensão de conceitos como crescimento populacional, movimento de corpos celestes e circuitos elétricos.
ii) Desenvolvimento de habilidades analíticas: o estudo das equações diferenciais exige uma compreensão profunda de cálculo, análise e álgebra, o que contribui para o desenvolvimento de habilidades analíticas e de resolução de problemas.
iii) Aplicações em diversas áreas: as equações diferenciais são utilizadas em diversas áreas do conhecimento, o que proporciona aos licenciandos uma visão mais ampla do papel da Matemática na sociedade e no mundo real.
iv) Preparação para o ensino: ao aprender sobre as equações diferenciais, os licenciandos ganham uma base sólida para ensinar conceitos como derivadas, integrais, funções e modelagem matemática em diferentes níveis de ensino.
v) Despertar o interesse pela Matemática: a exposição a problemas práticos e a exemplos concretos das equações diferenciais pode despertar o interesse dos licenciandos pela Matemática e incentivá-los a explorar áreas mais avançadas.

Considere a seguinte situação-problema: a lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura T(t) de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura atual do corpo T(t) e a temperatura constante do meio, Tm. A situação é descrita pelo problema de valor inicial, em que k é uma constante:

​Fonte: o autor.

Suponha que, em uma cozinha, cuja temperatura ambiente constante é de 25 °C, um bolo é retirado do forno e colocado sobre a pia. Nesse momento, a temperatura do bolo é de 180 °C. Após 5 minutos, verifica-se a temperatura do bolo e o termômetro marca 165 °C. Nessas condições, resolva os itens a seguir:

a) (70% da nota) Escreva o problema de valor inicial correspondente a essa situação-problema e determine sua solução particular.
b) (30% da nota) Assumindo que o bolo será servido quando sua temperatura atingir 30 °C, depois de quanto tempo, a partir do momento em que foi colocado sobre a pia, ele estará pronto para ser servido?